La fuerza contraelectromotriz y las constantes del motor Ke y Kt

FCEM: el motor como su propio generador

Cuando gira el rotor de un motor de CC, sus conductores cortan el campo magnético y se induce una tensión en ellos. Por la ley de Lenz, esta tensión se opone a la corriente que causa el movimiento, y por eso se llama fuerza contraelectromotriz, o FCEM. Es proporcional a la velocidad:

E = Ke × ω

donde ω es la velocidad angular en rad/s y Ke es la constante de tensión en V·s/rad. Los catálogos suelen darla en V por 1000 rpm; para convertirla a V·s/rad, multiplique el valor en V por 1000 rpm por 0,009549.

En reposo la FCEM es cero. A medida que el rotor acelera, aumenta hasta equilibrar casi por completo la tensión de alimentación.

La constante de par Kt

El par que produce un motor es proporcional a su corriente de armadura:

T = Kt × I

donde Kt es la constante de par en N·m/A. Ambas constantes proceden de las mismas magnitudes físicas (la intensidad del campo y la geometría del devanado), así que en unidades del SI son el mismo número:

Kt (N·m/A) = Ke (V·s/rad)

Una demostración directa viene de la conservación de la energía. La potencia eléctrica convertida en mecánica es E × I, y la potencia mecánica es T × ω. Por tanto Ke × ω × I = Kt × I × ω, lo que da Ke = Kt. Por eso un motor con mucho par por amperio también genera mucha tensión por rad/s, y por eso no se pueden obtener a la vez una velocidad en vacío alta y un par alto por amperio con el mismo devanado.

La igualdad se cumple en motores de CC de imanes permanentes, en motores de CC sin escobillas cuando se usa la misma definición por fase o entre líneas para ambas constantes, y de forma aproximada en otras máquinas en su zona lineal. Deja de cumplirse si se mezclan unidades, por ejemplo Kt en N·m/A y Ke en V por 1000 rpm.

La ecuación de tensión y por qué la corriente baja con la velocidad

Aplique la ley de tensiones de Kirchhoff al circuito de armadura, con tensión de alimentación V, resistencia de armadura R y FCEM E:

V = I × R + E

de modo que la corriente es

I = (V − E) / R

En el instante del arranque el rotor está parado, E = 0 y la corriente es la mayor, V / R. A medida que sube la velocidad, E crece, la tensión que queda en R disminuye y la corriente baja. El par baja con ella, hasta que el motor se estabiliza en la velocidad a la que su par iguala exactamente el par de carga. Una carga mayor necesita más par, lo que requiere más corriente, lo que implica una FCEM menor, así que el motor se estabiliza a una velocidad menor.

Es un lazo de realimentación natural. Es lo que hace que los motores de CC se autorregulen, y también la razón por la que una resistencia R pequeña y un rotor calado producen una corriente peligrosamente grande.

Velocidad en vacío y corriente de calado

Dos puntos extremos definen toda la recta velocidad–par de un motor de CC.

• Calado (ω = 0): E = 0, así que la corriente de calado es I_calado = V / R y el par de calado es T_calado = Kt × V / R.
• En vacío (T = 0): la corriente es cero, así que E = V y la velocidad ideal en vacío es ω_0 = V / Ke. Un motor real toma una pequeña corriente para vencer el rozamiento y se estabiliza algo por debajo.

Entre ambos puntos, la velocidad disminuye linealmente con el par:

ω = V / Ke − (R / (Ke × Kt)) × T

La recta une ω_0 en el eje de velocidad con T_calado en el eje de par. Subir la tensión desplaza la recta hacia arriba en paralelo. Subir R la hace más empinada, lo que significa que la velocidad cae más bajo carga. La potencia mecánica máxima se da a la mitad de la velocidad en vacío y la mitad del par de calado, P_max = V² / (4R).

Ejemplo resuelto

Tome un motor de CC de imanes permanentes con V = 24 V, R = 0,5 Ω y Ke = Kt = 0,05 (V·s/rad y N·m/A).

1. Corriente de calado: I_calado = 24 / 0,5 = 48 A, que da un par de calado de 0,05 × 48 = 2,4 N·m. 2. Velocidad ideal en vacío: ω_0 = 24 / 0,05 = 480 rad/s, es decir, 480 × 60 / (2π) ≈ 4584 rpm. 3. Ahora cargue el eje con 0,5 N·m. La corriente necesaria es I = T / Kt = 0,5 / 0,05 = 10 A. 4. La FCEM debe ser E = V − I × R = 24 − 10 × 0,5 = 19 V. 5. La velocidad es ω = E / Ke = 19 / 0,05 = 380 rad/s ≈ 3629 rpm.

Balance de potencia: la alimentación aporta 24 × 10 = 240 W. El eje recibe T × ω = 0,5 × 380 = 190 W. Los 50 W restantes son la pérdida en el cobre I² × R = 100 × 0,5. El rendimiento en este punto es 190 / 240 ≈ 79 %, sin contar el rozamiento.

El mismo motor a 12 V tendría la mitad de la velocidad en vacío, 2292 rpm, y la mitad de la corriente de calado, 24 A.

Notas prácticas

• Medir Ke: haga girar el motor con un taladro u otro motor y lea la tensión en circuito abierto; Ke = E / ω.
• Medir R: bloquee el rotor y aplique una tensión pequeña; R = V / I. Mida en varias posiciones del rotor, porque la resistencia de contacto de las escobillas varía.
• Límites de alimentación: los accionamientos reales limitan la corriente, así que el motor nunca llega a V / R en el arranque. Sin límite, la corriente de arranque puede ser varias veces la corriente nominal.
• Temperatura: la resistencia del cobre aumenta cerca de un 0,4 % por °C, y los imanes se debilitan con el calor, por lo que Ke y Kt bajan ligeramente al calentarse el motor.
• Regeneración: si la carga arrastra el motor por encima de V / Ke, entonces E > V, la corriente se invierte y la máquina devuelve energía a la alimentación.
• Los motores sin escobillas siguen las mismas ecuaciones por fase, con el inversor encargado de la conmutación. El ciclo de trabajo PWM fija la tensión media V.

Pruébelo en el simulador del motor de CC con escobillas

Abra el simulador del motor de CC con escobillas, que arranca con un motor de imanes permanentes (Excitación del campo en Imán). Las lecturas de Atrás CEM, Par y Corriente de armadura muestran E, T e I, y la placa de características tiene los campos Resistencia de la armadura y Constante de par.

• Ponga la Carga mecánica en 0 % y suba la Tensión de alimentación: la lectura de Atrás CEM sube con la velocidad y se mantiene justo por debajo de la tensión de alimentación mientras la Corriente de armadura permanece pequeña.
• Aumente el control deslizante de Carga mecánica: las lecturas de Corriente de armadura y Par suben, y la Atrás CEM y la velocidad bajan. La lectura de Par es igual a Kt × la corriente de armadura.
• Aumente la Resistencia de la armadura y vea cómo la velocidad cae más rápido con la misma carga.
• Lleve el control de Carga mecánica a su límite del 120 % con una Tensión de alimentación muy baja (por debajo de unos 4 V en el motor predeterminado) para alcanzar el estado estancado, donde la velocidad y la Atrás CEM son cero y la corriente es V / R.

El ajuste Excitación del campo permite cambiar a devanados Derivación, Serie o Compuesto, donde el flujo depende de la corriente de campo y la constante Kt simple ya no se aplica. La lectura Flujo en el entrehierro (nominal = 100) muestra entonces el cambio.

Pruébalo en el simulador